🔮 Cara Menghitung Determinan Matriks 4X4

Menentukandeterminan matriks 4x4 tidaklah susah, hanya pada pengerjaanya mungkin memerlukan waktu yang lebih lama. Namun, biasanya pada soal-soal yang menuntut kita untuk menemukan determinan matriks 4x4 biasanya niscaya ada celah sehingga kita sanggup menyelesaikannya dengan cepat. Dengan cara yang hampir sama, kita sanggup memilih

Transcrição de vídeoRKA4JL - Olá! Nós temos aqui uma matriz A de quatro linhas por quatro colunas e vamos ver se nós podemos calcular o determinante dessa matriz A, o determinante de A. Mas antes de a gente fazer da maneira como nós estávamos fazendo nos vídeos passados, e olha que aqui você não tem nenhuma linha e nenhuma coluna muito fácil com zero, o que facilitaria os cálculos, a gente pode até pegar essa coluna aqui para poder criar submatrizes, mas aí nós teríamos que calcular o determinante de quatro matrizes 3 por 3 e depois ainda calcular três determinantes de matrizes 2 por 2. Bom, isso seria um processo bem complicado, bem demorado. Vamos ver se a gente consegue usar algumas técnicas que foram estudadas nos vídeos anteriores para poder simplificar um pouco esse processo. Uma ideia de operação entre as linhas da matriz seria trocar a linha j por uma combinação linear da linha j com a linha i, por exemplo. De que maneira? Então nós vamos trocar a linha j por j menos um múltiplo, vezes a linha i. E se nós fizermos essa troca, saberemos que isso não vai alterar o valor do determinante de A. Então nós podemos fazer essa operação com linhas da matriz e isso não vai afetar, não vai alterar o valor do determinante da matriz. A outra ideia que vimos é que podemos calcular o determinante de matrizes triangulares superiores. E o que vem a ser uma matriz triangular superior? Vamos lembrar essencialmente, é uma matriz em que todos os termos que estão abaixo da diagonal principal... E aí deixe-me fazer aqui essa diagonal principal. Vamos fazer termos genéricos aqui, tá? Esses termos não são iguais a zero, mas todos os termos que estiverem aqui, abaixo da diagonal principal, eles serão iguais a zero. Então aqui vai ser tudo zero, aqui tudo zero, tudo zero aqui dentro dessa matriz, nessa parte aqui de baixo que eu estou aqui destacando de verde. E tudo que estiver acima da diagonal principal, todos esses termos aqui, eles não necessariamente têm que ser iguais a zero, mas os que estão abaixo da diagonal principal, sim. Todos esses têm que ser iguais a zero. Eu não mencionei isso no vídeo, mas existe uma matriz que se chama matriz triangular inferior e você já vai adivinhar o que é isso. Uma matriz triangular inferior é uma matriz em que todos os termos que estão acima da diagonal principal, e aqui eu estou fazendo a diagonal principal com termos que são diferentes de zero, na matriz triangular inferior, todos os termos que estão acima da diagonal principal são iguais a zero. Então todos esses termos aqui são iguais a zero e todos os termos que estão abaixo da diagonal principal seriam diferentes de zero, não são iguais a zero. Nós vimos que para calcular o determinante de uma matriz triangular superior, nós precisávamos apenas calcular o produto dos termos que estão na diagonal principal. Eu não vou provar isso para este vídeo, mas nós podemos usar o mesmo argumento para calcular o determinante de uma matriz triangular inferior. Basta multiplicar os termos que estão na diagonal principal. Então considerando que basta multiplicarmos os termos da diagonal principal e que também podemos fazer operações entre as linhas, quem sabe uma maneira de calcular o determinante da matriz A, uma maneira mais simples, não seja transformá-la em uma matriz triangular superior, e assim nós vamos apenas multiplicar os termos da diagonal principal. Então vamos fazer isso. Vamos calcular o determinante de A. Vou escrever aqui 1, 2, 2, 1; 1, 2, 4, 2; 2, 7, 5, 2; -1, 4, -6, 3. Agora nós vamos começar o processo de triangulação. Então a primeira linha eu vou manter, 1, 2, 2, 1, a segunda linha vou substituir pelo resultado da segunda linha menos a primeira linha, então 1 menos 1, zero, 2 menos 2, zero, 4 menos 2, 2, 2 menos 1, 1. A terceira linha eu vou substituir pelo resultado da terceira linha menos 2 vezes a primeira linha, então 2 menos 2 vezes 1, zero, 7 menos 2 vezes 2, 3, 5 menos 2 vezes 2, 1, 2 menos 2 vezes 1, zero. E a última linha vou substituir pelo resultado da soma da última linha com a primeira linha -1 mais 1, zero, 4 mais 2, 6, -6 mais 2, -4, 3 mais 1, 4. Bom, e agora estou vendo que eu tenho dois zeros aqui, então eu tenho um zero na minha diagonal principal. Eu vou fazer uma troca de linhas. Eu posso fazer uma troca de linhas? Posso, sim. Como que vai ficar, então? A primeira linha vai se manter, então vai ficar 1, 2, 2, 1, a última linha também vou manter, zero, 6, -4, 4 e vou trocar a segunda linha com a terceira linha. Então a terceira linha vai vir para cá e fica assim zero, 3, 1, zero e a segunda linha vai para o lugar da terceira, ficando zero, zero, 2, 1. Bom, eu posso trocar linhas de lugar? Posso, mas é importante lembrar o seguinte quando eu troco duas linhas de lugar, o sinal do determinante da matriz em relação ao sinal do determinante da matriz original também troca, então eu posso fazer essa troca desde que eu também troque o sinal do determinante. Isso foi uma coisa que nós vimos em um dos primeiros vídeos sobre esse assunto de manipulação de determinantes. E para transformar essa matriz em uma matriz triangular superior, nós vamos precisar zerar aqui também esse termo. Então vai ficar assim todo o restante igual, 1, 2, 2, 1; zero, 3, 1, zero; zero, zero, 2, 1 e a última linha eu vou substituir pelo resultado da seguinte operação última linha menos 2 vezes a segunda linha, zero menos 2 vezes zero, zero, 6 menos 2 vezes 3, zero, -4 menos 2 vezes 1, -6, 4 menos 2 vezes zero, 4. Eu não posso esquecer também do sinal, que era negativo, não é? Aqui vai se manter também. Agora já está quase terminando o processo de triangulação, mas eu ainda preciso zerar esse termo aqui. Então a primeira, segunda e terceira linhas vão ficar como estavam, então continua 1, 2, 2, 1; zero, 3, 1, zero; zero, zero, 2, 1. Estou calculando o determinante, não posso esquecer que o sinal aqui é negativo porque nós fizemos uma troca de linhas anteriormente e a última linha vou substituir pelo resultado da operação dela mais 3 vezes a penúltima linha. Então vai ficar assim zero mais 3 vezes zero, zero, zero mais 3 vezes zero, zero, -6 mais 3 vezes 2, zero, 4 mais 3 vezes 1, 7. E agora que eu tenho uma matriz triangular superior, o determinante dela vai ser o produto desses termos da diagonal principal. Então o determinante aqui vai ser, não posso esquecer do sinal negativo, menos o produto desses termos que estão na diagonal principal 1 vez 3 vezes 2 vezes 7. 1 vez 3, 3, 3 vezes 2, 6, 6 vezes 7, 42. -42, portanto, é o determinante dessa matriz aqui. Este é um método rápido e tende a ser computacionalmente mais eficiente utilizar esse processo de transformar a matriz em uma matriz triangular superior e depois calcular o determinante dessa matriz multiplicando apenas os termos da diagonal principal, que no nosso caso foi -42.

Tigacara menghitung determinan matriks 4×4 yaitu. Contoh soal determinan matriks beserta jawaban dan pembahasannya. Contoh soal determinan matriks ordo 3×3 dan pembahasannya. Oleh tju ji long · statistisi. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol. Banyak sekali pertanyaan seputar

Get the CodeCara Kerja Kalkulator DeterminanApa itu Determinan?Determinan adalah nilai yang didapatkan dari sebuah matriks dengan jumlah kolom dan baris yang sama atau matriks persegi. Determinan dapat digunakan untuk mencari inverse sebuah matriks dan untuk menyelesaikan sebuah persamaan cara menghitung determinan dari sebuah matriks?Determinan untuk matriks 2×2Matriks 2×2 adalah matriks yang seperti berikutMaka rumus untuk menghitung determinan matriks 2×2 adalahContohnya diketahui matriks A sebagai berikutMaka determinan dari matriks A adalahDeterminan untuk matriks 3×3Salah satu metode untuk mencari determinan dari matriks 3×3 adalah metode Minor-Kofaktor, yaitu dengan cara menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satubaris atau kolom matriks A. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikutPilih salah satu baris atau kolom pada matriks untuk mendapatkan nilai kofaktor matriks bagian dari matriks A Cij.Cij = -1i+jMij dan Mij = det Aij dengan Aij adalah matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Gunakan rumus determinan matriks untuk metode Minor-Kofaktor. Rumusnya adalah sebagai berikutContohnya jika matriks A adalah sebagai berikutMaka cara mencari determinan menggunakan metode Minor-Kofaktor adalahBaris yang akan dipilih untuk mendapatkan nilai determinan adalah baris bagian dari matriks A berdasarkan baris 1 adalah A11, A12, dan A13. Matriks bagian A11 didapatkan dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-1 Maka M11 adalah determinan dari A11 Matriks bagian A12 didapatkan dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2Maka M12 adalah determinan dari A12 Matriks bagian A13 didapatkan dengan menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-3Maka M13 adalah determinan dari A13 Gunakan rumus determinan. Rumusnya untuk matriks 3×3 adalah sebagai berikutaij didapatkan dari matriks A baris ke-i dan kolom ke-j. Sedangkan cij adalah perkalian antara -1i + j dengan determinan matriks bagian yang sudah ditemukan pada langkah sebelumnya. Maka determinan dari matriks A adalah Determinan untuk matriks berordo lebih dari 3Untuk mencari determinan untuk matriks berordo lebih dari 3, bisa digunakan metode Minor-Kofaktor seperti proses yang sudah dijelaskan sebelumnya. Hanya saja prosesnya akan panjang karena banyaknya proses perhitungan matriks jika matriks berukuran 4×4, maka matriks bagiannya adalah matriks 3×3 sehingga harus digunakan metode Minor-Kofaktor untuk mengetahui determinan dari matriks bagian tersebut.

Persamaan(1) memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam kolom pertama A dengan kofaktor-kofaktornya dan kemudian menjumlahkan hasil kalinya. Metode menghitung det (A) ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A. Contoh 2: Menghitung Determinan. Misalkan diketahui matriks A sebagai berikut.

Penulis Dipublikasi October 4th, 2021Cara menghitung determinan matriks melalui metode masuk ke pemaparan bagaimana menghitung determinan, alangkah baiknya tahu dulu untuk apa sih sebenarnya angka ini?Salah satu kegunaan utamanya yaitu untuk mengetahui, apakah sebuah matriks memiliki invers atau tidak. Bisa pula untuk menyelesaikan sistem persamaan utamanya muncul saat matriks yang ingin dicari determinannya lebih dari 3 × 3. Di mana metode Sarrus, ataupun rumus langsung lainnya tidak bisa langsung teman-teman yang ingin langsung ke metode kofaktornya bisa langsung aja ke bagian IsiPola Perkalian DeterminanMetode KofaktorRumus KofaktorDeterminan Matriks 4x4 Cara KofaktorPilih Baris Banyak Nolnya?Eliminasi Gauss vs Metode KofaktorPola Perkalian DeterminanCoba ingat kembali rumus determinan untuk matriks ordo 2 × 2, yaituBerdasarkan rumus tersebut, dapat dilihat ada kombinasi perkalian dari elemen pada kolom dan baris yang lihat rumus determinan untuk matriks 3 × 3 menggunakan metode Sarrus berikutJika diperhatikan, determinan selalu melibat penjumlahan atas perkalian sum of product dalam setiap suku perkaliannya tersebut selalu terdiri atas anggota matriks dari kolom dan baris gunakan contoh matriks 3 × 3 sebelumnya, dan sebagai contoh, amati suku keduanya, baik elemen a12, a23, serta a31 tak ada satu pun yang sekolom maupun untuk suku-suku lainnya. Tetapi, pertanyaanya bagaimana tanda positif dan negatifnya muncul?Lihat urutan baris dari masing-masing elemennya. Suku pertama urutan kolomnya adalah 1-2-3, suku kedua 2-3-1, kemudian suku ketiga pada suku-suku yang bertanda negatif urutan kolomnya yaitu 1-3-2 untuk suku keempat, 2-1-3 suku kelima, dan 3-2-1 suku sini, urutan kolom 1-2-3 dianggap tidak memerlukan pertukaran kedua supaya urutannya sama seperti pertama perlu dua genap kali perpindahan. Contohnya kolom 1 bertukar dengan 3 lalu dengan pula suku ketiga, perlu 2 genap kali berpindah. Misalnya kolom 3 tukar dengan 1 lalu dengan situ bisa dilihat kalau suku-suku negatif selalu berkaitan dengan perpindahan kolomnya sebanyak 1 ganjil suku keenam hanya perlu menukar kolom 1 dengan perpindahan kolom tersebut bekaitan dengan matriks permutasi yang mampu merubah tanda terjadi satu perubahan kolom bisa juga barisnya, maka menyebabkan determinannya menjadi sebelumnya bukanlah suatu kebetulan. Sejatinya ada dua sifat determinan yang bakal dimanfaatkan guna menunjukkan proses tadi, keduanya yaituApabila dua baris saling tukar, maka determinannya berubah determinan suatu matriks merupakan fungsi linear atas baris-baris matriks segitiga adalah perkalian elemen diagonal sifat kedua, maksudnya jika kalian punya matriks sepertiDeterminan matriksnya bisa dihitung menjadi sebagaiBisa juga dibuat beginiCatatan Baris lainnya tetap sama, hanya salah satu barisnya karena itu, saat menghitung determinan matriks 3 × 3 bisa dilakukanDi setiap hasil penguraian dari matriks mulanya, masing-masing menyumbang dua suku. Alhasil pada determinan matriks 3 × 3 terdapat 6 ini juga berlaku untuk menghitung determinan matriks 4 × 4, 5 × 5, bahkan hingga n × ya perlu kesabaran aja, soalnya perlu hati-hati mencari pasangan elemen dengan baris dan kolomnya KofaktorSesuai nama metodenya, kofaktor, berarti ada sebuah faktor, dalam hal ini adalah faktor pengali yang ditelaah kembali cara ataupun rumus sebelumnya, terlihat bahwa suku-suku determinan tersebut mempunyai kesamaan beberapa ukuran 2 × 2, sudah tidak bisa difaktorkan kembali, tetapi pada ordo 3 ×3 faktor-faktor yang sama bisa "dikeluarkan".Nilai-nilai di dalam kurung tersebutlah yang disebut sebagai diamati lagi, sekilas terlihat kalau kofaktor tersebut merupakan determinan dari makin jelas terlihat bentuk submatriksnyaRumus KofaktorSecara umum, rumus determinan menggunakan kofaktor yaituDi mana Cij adalah kofaktor dari elemen aij, rumusnya adalahVariabel i menunjukkan letak baris, j posisi kolom, dan Mij adalah umumnya, bisa digunakan elemen baris berapapun untuk menentukan kofaktornya. Tidak terbatas pada baris pertama boleh juga kalau mau ekspansi melalui kolomnya. Sehingga nantinya dihitung kofaktor dari elemen-elemen yang sekolom. Nanti tinggal disesuaikan saja indeks-indeks pada rumus submatriks tersebut bergantung pada elemennya. Asumsikan dipilih semua elemen pada baris ingin dihitung kofaktor dari elemen a21, maka submatriksnya adalah semua elemen yang tidak berada di baris 2 dan kolom lebih jelasnya, kalian bisa lihat gambar di Seperti halnya invers matriks, untuk menghitung determinan, matriksnya juga harus persegi, yakni jumlah baris dan kolomnya Matriks 4x4 Cara KofaktorDi bagian ini coba kita eksekusi metode sebelumnya untuk menghitung determinan matriks 4 × contoh bakal dipilih baris baris ke-1 sebagai perhitungannya. Maka selanjutnya, perlu dihitung kofaktor dari masing-masing elemen pada baris ke-1,1, a11 = 8, kofaktornyaSebenarnya di sini mampu secara langsung dihitung menggunakan metode sekarang akan ditunjukkan kalau determinan tersebut bisa juga diterapin metode kofaktor supaya dari teman-teman dapat gambaran apabila menemui masalah berupa menghitung matriks yang ordonya lebih determinan dari matriks M11 tersebut menggunakan metode kofaktor adalahCatatan Lagi-lagi digunakan baris besar kofaktornya, C11 = elemen ke-1,2 a12Perhitungan determinan submatriks M12Maka nilai kofaktornya, C12 = elemen ke-1,3 a13Kalkulasi determinan submatriks M13Dengan itu, kofaktornya adalah C13 = 27Kofaktor elemen ke-1,4 a14Nilai determinan submatriks M14Dengan itu, kofaktornya adalah C14 = 18Setelah diperoleh semua kofaktornya, maka determinan matriks 4 × 4 tersebut adalahPilih Baris Banyak Nolnya?Jika di antara kalian bertanya-tanya, kenapa gak menghitung kofaktor dari baris keempat saja?Pertanyaan menarik, memang kalau dilihat baris tersebut memuat elemen nol paling sebenarnya sama saja, kalau kalian pilih baris keempat, tapi nanti perhitungan determinan pada submatriksnya jarang ditemui silahkan pilih saja cara yang menurut kalian paling Gauss vs Metode KofaktorBalik sedikit ke sifat-sifat determinan yang telah dimanfaatkan. Sejatinya dari sifat nomor tiga itu bisa pula menghitung nilai ini menggunakan eliminasi hasil dari proses eliminasi tersebut diperoleh bentuk matriks segitiga, dan tinggal kalikan elemen kalau dari Tim ISENG sendiri lebih memilih cara ini untuk menghitungnya. Terutama untuk perhitungan secara manual tanpa utamanya, pada metode kofaktor tidak melibatkan operasi kalau dari elemennya tidak ada pecahan maka tidak akan ada perkalian terhadap terbalik dengan proses eliminasi, karena ada terlibatnya pembagian terhadap lagi kalau pivotnya nol, perlu ditukar dulu, alhasil kalau mengacu pada sifat 1 terjadi perubahan tanda perlu diingat perubahannya.

. 365 77 381 157 269 373 398 206

cara menghitung determinan matriks 4x4